La propuesta consiste en una introducción lúdica al concepto de probabilidad. El público participa en grupos de dos personas respondiendo un examen de 10 preguntas de opción múltiple.
Las preguntas son de contenido general, pero diseñadas de forma tal que no se conozca la respuesta. De esta forma se espera que las respuestas sean seleccionadas al azar. Para aprobar se necesita responder correctamente 6 de las 10 preguntas.
Después de autocorregir, se cuantifican las respuestas correctas y se calcula la proporción de grupos que aprobaron. Esa proporción sirve para estimar experimentalmente la probabilidad de aprobar el examen seleccionando respuestas al azar.
Durante la jornada es muy valioso ir registrando en un gráfico la distribución de respuestas correctas: al principio la muestra es pequeña y los resultados pueden variar mucho, pero a medida que se acumulan datos la forma se aproxima a la distribución binomial prevista.
Lo esperable, dado el pequeño tamaño de los equipos y la naturaleza aleatoria, es que muy pocos (o ningún) equipo apruebe. Esto suele sorprender y genera la oportunidad perfecta para explicar por qué la probabilidad de aprobar es tan baja.
En experiencias similares (por ejemplo, en FILAB) funcionó muy bien construir el gráfico en vivo y explicar intuitivamente la teoría: al principio hace falta "convencer a mano" a la audiencia de que finalmente se formará la curva, pero ver la binomial surgir de los datos reales resulta muy convincente.
Definamos \(X_i=1\) si la i-ésima pregunta se contesta correctamente y \(X_i=0\) en caso contrario. Sea \(p\) la probabilidad de acertar una pregunta respondiendo al azar. Si cada pregunta tiene cuatro opciones, \(p=1/4\).
La cantidad total de aciertos en el examen es
\[ X = X_1 + X_2 + \dots + X_n, \qquad n=10. \]
Bajo independencia (responder al azar hace que no haya relación entre preguntas), \(X\) sigue una distribución binomial. La tabla siguiente muestra la probabilidad exacta de obtener cada \(k\) aciertos cuando \(n=10\) y \(p=1/4\).
| k | P(X = k) |
|---|---|
| 0 | 0.0563135147094727 |
| 1 | 0.187711715698242 |
| 2 | 0.281567573547363 |
| 3 | 0.250282287597656 |
| 4 | 0.145998001098633 |
| 5 | 0.0583992004394531 |
| 6 | 0.0162220001220703 |
| 7 | 0.00308990478515625 |
| 8 | 0.000386238098144531 |
| 9 | 2.86102294921875e-05 |
| 10 | 9.5367431640625e-07 |
La probabilidad de aprobar (\(P(X\ge 6)\)) es la suma de las probabilidades desde \(k=6\) hasta \(k=10\). El valor es aproximadamente 0.019724, notablemente bajo, lo que explica por qué casi nadie aprueba al azar.
En el aula conviene no enfocarse en derivaciones técnicas extensas: una explicación práctica mostrando las probabilidades y motivando por qué esos números tienen sentido suele ser más efectiva. Mostrar la probabilidad acumulada, por ejemplo la probabilidad de \(k\ge6\), suele sorprender a los estudiantes y genera preguntas interesantes.
Aquí hay un gráfico que muestra un histograma de notas simuladas para \(N=10\) (cantidad de exámenes), y \(p=0.25\) (probabilidad de acertar una pregunta) y calcula el porcentaje de aprobados \(nota\ge6\) .